CF1442D Sum

感觉这个结论题好神仙啊,开始还以为是 $\max,+$ 凸包之类的东西没想到是结论题。。

一个结论:对于一个选择 $k$ 个数的最优状态,一定不存在多于 $1$ 个序列被选了一部分。

我们设有两个序列选了一部分 $a_p,a_q$ ,同时设两个序列分别选择了 $t_p,t_q$ ,我们可以设 $a_{p,t_p+1} \le a_{q,t_q+1}$ 。

然后考虑,如果我们调整 $k$ 个数从 $p$ 到 $q$ 内,于是更改量就是

由于每个 $a$ 单增,所以

所以

所以我们直接设 $y = t_p$ 调整,把 $p$ 调整空即可。

所以,任意时刻只有一个数列内部被部分选择。

于是我们对除开这个数列外的其他数列跑背包,这个数列单独背包即可。除开这个物品的背包是经典套路,可以分治解决。

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#include "iostream"
#include "algorithm"
#include "cstring"
#include "cstdio"
#include "cmath"
#include "vector"
#include "map"
#include "set"
#include "queue"
using namespace std;
#define MAXN 200006
//#define int long long
#define rep(i, a, b) for (int i = (a), i##end = (b); i <= i##end; ++i)
#define per(i, a, b) for (int i = (a), i##end = (b); i >= i##end; --i)
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define eb emplace_back
#define vi vector<int>
#define all(x) (x).begin() , (x).end()
#define mem( a ) memset( a , 0 , sizeof a )
typedef long long ll;
#define P 1000000007
int n , k;
vi obs[3006]; ll v[3006] , w[3006];

vector<ll> dp;
ll ans = 0;
void dq( int l , int r ) {
if( l == r ) {
int t = 0; ll r = 0;
for( int x : obs[l] ) {
++ t;
r += x;
ans = max( ans , dp[k - t] + r );
if( t >= k ) break;
}
return;
}
vector<ll> tmp = dp;
int mid = l + r >> 1;
rep( i , l , mid ) {
for( int j = k ; j >= v[i] ; -- j ) dp[j] = max( dp[j] , dp[j - v[i]] + w[i] );
}
dq( mid + 1 , r );
dp = tmp;
rep( i , mid + 1 , r ) {
for( int j = k ; j >= v[i] ; -- j ) dp[j] = max( dp[j] , dp[j - v[i]] + w[i] );
}
dq( l , mid );
}

void solve( ) {
cin >> n >> k;
rep( i , 1 , n ) {
static int t;
scanf("%d",&t);
obs[i].resize( t );
rep( j , 0 , t - 1 ) scanf("%d",&obs[i][j]) , w[i] += obs[i][j];
v[i] = t;
}
dp.resize( k + 1 );
dq( 1 , n );
cout << ans << endl;
}

signed main() {
// freopen("input","r",stdin);
// freopen("fuckout","w",stdout);
// int T;cin >> T;while( T-- ) solve();
solve();
}
文章作者: yijan
文章链接: https://yijan.co/2020/11/18/cf1442d-sum/
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