AUOJ471 咕

有意思的题。

这个问题是有一个普遍结论的:在 $\frac n e$ 附近之前全部不管,之后就遇到一个位置为前缀最小值则直接选。

考虑这个东西是怎么来的。我们设 $f_i$ 表示 $1 \sim i-1$ 都不管,从 $i$ 开始遇到一个位置为前缀最小值则直接选择,最终得到 $1$ 的概率。

考虑转移,分类讨论一下这个位置是否是前缀最小值。显然一个位置作为前缀最小值的概率是 $\frac 1 i$ ,而这个位置是前缀最小值时它是 $1$ 的概率是 $\frac i n$ ,那么式子就是:

于是我们讨论一下去掉 $\max$ ,由于 $\frac i n$ 随着 $i$ 的增加而增加,且当 $\frac i n < f_{i+1}$ 时有 $f_i = f_{i+1}$,因此一定有一个最大的 $d$ 满足在 $\frac d n \le f_{d+1}$ 。

如果大力推式子,会得到

于是有

于是就做完了,复杂度 $O(n+T)$ 。

事实上,你直接把这个位置取到大概 round( n / e + 1 - 0.5 * e ) 也可以通过本题。。。可以参考杰哥代码。

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#include "iostream"
#include "algorithm"
#include "cstring"
#include "cstdio"
#include "cmath"
#include "vector"
#include "map"
#include "set"
#include "queue"
using namespace std;
#define MAXN 1000006
//#define int long long
#define rep(i, a, b) for (int i = (a), i##end = (b); i <= i##end; ++i)
#define per(i, a, b) for (int i = (a), i##end = (b); i >= i##end; --i)
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define eb emplace_back
#define vi vector<int>
#define all(x) (x).begin() , (x).end()
#define mem( a ) memset( a , 0 , sizeof a )
typedef long long ll;
const int P = 998244353;
int n , m;
int A[MAXN];
double S[MAXN];
int s[MAXN] , iv[MAXN];

int Pow( int x , int a ) {
int ret = 1;
while( a ) {
if( a & 1 ) ret = ret * 1ll * x % P;
x = x * 1ll * x % P , a >>= 1;
}
return ret;
}

void solve() {
rep( i , 1 , MAXN - 1 ) S[i] = S[i - 1] + 1. / i , iv[i] = Pow( i , P - 2 ) , s[i] = ( s[i - 1] + iv[i] ) % P;
int T; cin >> T;
while( T-- ) {
scanf("%d",&n);
if( n == 1 ) { puts("1"); continue; }
int d = upper_bound( S + 1 , S + 1 + n , S[n - 1] - 1 ) - S;
printf("%d\n",( s[n - 1] + P - s[d - 1] ) * 1ll * d % P * iv[n] % P);
}
}

signed main() {
// int T;cin >> T;while( T-- ) solve();
solve();
}

文章作者: yijan
文章链接: https://yijan.co/2021/04/19/auoj471-gu/
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