HDU 6116 路径计数

普通生成函数常用于处理组合问题，指数生成函数常用于处理排列问题。

考虑 对于$a$个$A$分为很多堆，这么分的方案数是$C_{a-1}^{i-1}$

然后对于每一堆我们看成一个数来放，并且所有堆都这样做，这样的话总的方案数量是$\frac{(i+j+k+l)!}{i!j!k!l!}$

就算所有一堆看成的数的排列是不存在相邻相等的，至少都有$n-i-j-k-l$对相邻的相同的数。

然后就可以容斥了，枚举$i+j+k+l$直接计算就好了。

$ans = \displaystyle \sum_{x=1}^{n} (-1)^{n-x} x! \sum_{i+j+k+l=x} \frac{C_{a-1}^{i-1} C_{b-1}^{j-1} C_{c-1}^{k-1} C_{d-1}^{l-1}}{i ! j ! k ! l !}$

后面其实就是四个指数生成函数乘积了。

cpp

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 200010
#define P 998244353
#define clr( a ) memset( a , 0 , sizeof a )
typedef long long ll;
int wn[2][MAXN];
int Pow( int x , int y ) {
	int res=1;
	while(y) {
		if(y&1) res=res*(ll)x%P;
		x=x*(ll)x%P,y>>=1;
	}
	return res;
}
void getwn(int l) {
	for(int i=1;i<(1<<l);i<<=1) {
		int w0=Pow(3,(P-1)/(i<<1)),w1=Pow(3,P-1-(P-1)/(i<<1));
		wn[0][i]=wn[1][i]=1;
		for(int j=1;j<i;++j)
			wn[0][i+j]=wn[0][i+j-1]*(ll)w0%P,
			wn[1][i+j]=wn[1][i+j-1]*(ll)w1%P;
	}
}
int rev[MAXN];
void getr(int l) { for(int i=1;i<(1<<l);++i) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<l-1); }
void NTT(int *A,int len,int f) {
	for(int i=0;i<len;++i) if(rev[i]<i) swap(A[i],A[rev[i]]);
	for(int l=1;l<len;l<<=1)
		for(int i=0;i<len;i+=(l<<1))
			for(int k=0;k<l;++k) {
				int t1=A[i+k],t2=A[i+l+k]*(ll)wn[f][l+k]%P;
				A[i+k]=(t1+t2)%P;
				A[i+l+k]=(t1-t2+P)%P;
			}
	if( f == 1 ) for(int inv=Pow(len,P-2),i=0;i<len;++i) A[i]=A[i]*(ll)inv%P;
}
int a , b , c , d;
int J[MAXN] , invJ[MAXN] , inv[MAXN];
int cc( int a , int b ) {
	if( b > a ) return 0;
	return 1ll * J[a] * invJ[b] % P * invJ[a - b] % P;
}
int A[MAXN] , B[MAXN] , C[MAXN] , D[MAXN];
int main() {
	J[0] = inv[1] = invJ[0] = J[1] = invJ[1] = 1; 
	for( int i = 2 ; i < MAXN ; ++ i ) inv[i] = 1ll * ( P - P / i ) * inv[P % i] % P , J[i] = 1ll * J[i - 1] * i % P , invJ[i] = 1ll * invJ[i - 1] * inv[i] % P;
	while( cin >> a >> b >> c >> d ) {
		clr( A ) , clr( B ) , clr( C ) , clr( D );
		int n = a + b + c + d;
		for( int i = 1 ; i <= a ; ++ i ) A[i] = 1ll * cc( a - 1 , i - 1 ) * invJ[i] % P;
		for( int i = 1 ; i <= b ; ++ i ) B[i] = 1ll * cc( b - 1 , i - 1 ) * invJ[i] % P;
		for( int i = 1 ; i <= c ; ++ i ) C[i] = 1ll * cc( c - 1 , i - 1 ) * invJ[i] % P;
		for( int i = 1 ; i <= d ; ++ i ) D[i] = 1ll * cc( d - 1 , i - 1 ) * invJ[i] % P;
		int len = 1 , l = 0;
		while( len <= n ) len <<= 1 , ++ l;
		getwn( l ) , getr( l );
		NTT( A , len , 0 ) , NTT( B , len , 0 ) , NTT( C , len , 0 ) , NTT( D , len , 0 );
		for( int i = 0 ; i < len ; ++ i ) A[i] = 1ll * A[i] * B[i] % P * C[i] % P * D[i] % P;
		NTT( A , len , 1 );
		ll res = 0;
		for( int i = 1 ; i <= n ; ++ i )
			res += ( ( n - i & 1 ) ? -1ll : 1ll ) * J[i] * A[i] % P , res += P , res %= P;
		cout << res << endl;
	}
}